クラスター分析～概要とユークリッド距離の二乗

1. クラスター分析は“仲間探し”

 　「クラスター」という言葉を聞いたことのある人は多いと思います。この原稿を書いている時点（2020年7月上旬）も、東京都で1日100人以上の新型コロナウィルス感染者が判明し、夜の街関連でクラスターが発生したと報道されています。

　現代ではクラスター（cluster）は「束、房」という意味が一般的ですが、本来は「cluster＝集落」という意味で使われるそうです。「群れ・集団」という意味もありますが、これがクラスター分析の「クラスター」に一番近い表現です。つまり“仲間探し”なのです。

　仲間探しですから、その基準の設定次第で色々と変わってきます。例えば象、キリン、ライオン、犬、猫、鉛筆、消しゴムを想定した時、誰でも「象、キリン、ライオン、犬、猫」と「鉛筆、消しゴム」に分けると思います。おそらく、頭の中で「動物と文房具」という集団分類をしているからでしょう。また「象、キリン、ライオン、犬、猫」をさらにクラスター分けすると、どうなるでしょうか？体の大きさでクラスターを考えると「象、キリン、ライオン」「犬、猫」になります。

　このように基準をどこに設定するかで、クラスターは変わってきます。

2. 相関の高さでグループ分け

　そこで、クラスター分析でよく使われる距離を一つの目安にする方法を解説します。ただ、距離といっても「大阪～東京間距離」という意味の距離ではありません。例えばライオンの摂食する餌の肉の成分比が95%、猫が70%、犬が50％、象は１％、キリンは０％とします。細かい計算は省きますが「ライオン、猫、犬」「象、キリン」のように分けることができまます。ここで使った距離は何kmではなく、餌の肉成分の比率です。当然「ライオン、猫、犬」は「ライオン、猫」「犬」にも分かれていきますが、この成分比の近さを「距離」と表現しています。早い話が相関の高さです。相関が高いと、距離が近いという考えです。

　この距離についても、多くの考え方があります。

1. ユークリッド距離
2. ユークリッド距離の二乗：座標軸の距離の計算、その二乗※ここではこれを使って解説します
3. マハラノビスの距離
4. マンハッタン距離
5. 標準化距離

　上記あたりが挙げられますが、詳細についてここでは取り上げません。

　そのクラスター間の距離を測定する方法は、以下が一般的です。

1. 最短距離法：群Aの個体と群Bの個体すべての組み合わせの距離で最短
2. 最長距離法：上記で最長の距離
3. メディアン法上記で中央値
4. 重心法：群Aと群Bのそれぞれ重心の距離
5. ウォード法：２つのクラスターを一つにまとめた時の情報損失量
   

3. 体重とスピードで犬種のクラスター作成

　以下は、ユークリッドの距離二乗で、最短距離法でクラスター分類をすることにします。

　犬の話を例に解説します。カタログから犬種の標準的な体重と走るスピード（いずれも単位略）のデータが下記のようになったとした時、犬種の類似度はどういうものなのか？どのようなグループに分かれるかを考えます。

表１.犬種の体重とスピード

図１. 表１のグラフ化（横軸：体重、縦軸：スピード）

　このデータから、どういった類似の犬種グループに分かれるかを見てみましょう。GやIは軽くて、非常に速いので、イタグレのような品種。Jは体重は重めだが、俊敏性に富むようなので、シェパードやシベリアン・ハスキーが該当します。

　次いでいきなりですが、各犬種のユークリッド距離の二乗を表にしたものを示します。

表２.ユークリッド距離の二乗表（１）

　赤字の２、つまりGとIが最も小さいです。そこでまず、GとIは同グループになります。次に、GとIを同じにする（平均でいいです）時の、二乗表を算出します。

表３.ユークリッド距離の二乗表（２）

　今度は、青字の10が最小です。つまり、AとDが同じグループになります。この操作を繰り返していきます。最終的には、A＆B＆D&F＆G＆I&J&KとC＆E＆Hになります。その距離二乗は、847.2です。これらを、グラフ化します。図２参照。

　グラフでは、グループとしてまとめてきたものを、線でつないでいます。点線は4個のグループ分けしたいときの線です。この線が切っているところが一つのグループです。このようなグラフをデンドログラムといいます。またこのような方法を階層的分類法といいます。

図２．...