今回は、MT法やMTA法で使われるマハラノビス距離の話をおさらいします。余因子の話からは一旦離れますが、次回また扱います。
1．MT法、MTA法での距離とは
まず、MTA法というのは、MT法のアンチテーゼとして生まれたものなので、MT法の数理から入ります。
MT法は、マハラノビス距離を相関行列で説明している本が多いですが、初学者には、却（かえ）って難しい。式の意味からは「普通の」、「分散」、「共分散」のほうが分かりやすいでしょう。
MTとは、マハラノビス・タグチの略なのですが、基準尺度を計算するところに、タグチの出番はなく“マハラノビス”そのものです。ここからスタートしましょう。
マハラノビス距離を一言でいえば、平均からの離れ具合を、ばらつき（標準偏差）で評価するというものです。例えば、平均から遠く離れたものは、距離が長いということですが、その標準偏差が非常に大きければ意味がないでしょう。平均が５ｍで、そこから1５ｍ離れたら、10m離れたことになって、大きいように思われるが、このときのバラツキが12mあるなら、誤差範囲です。でも、バラツキが１ｍｍなら、すごく離れていることになる。ご存じの「偏差値」は一次元のマハラノビス距離の変形版です。
10倍して、50を足しているのは、試験における満点が100点、最低が0点の場合が多く、偏差値の感触が実際の得点の感触に近いようにしたかっただけ、とのことです。
本質的には平均から離れている点数が、バラツキの何倍かを表現しています。
これを多次元展開してn次元のマハラノビス距離は、以下のように計算します。
表１ データ形式
各サンプルごとに、
この平方根をマハラノビス距離とします。項目数ｋで割るのは品質工学専用です。この式で、全然問題ないのですが、品質工学では、相関係数から入っている場合が多いのです。意味がよく分かるというのでは、式7ですが（要は、平均からの離れ具合がσの何倍かというもの）、相関係数でも同様の表現ができて、相関行列が簡単に出せる時代にあっては、こちらのほうが実用性も高いので、ここからはこちらで説明します。
と、その前に、標準化の話が必要です。
標準化というのは、あるデータから平均を引き、σで割ったものです。一次元のマハラノビス距離に対応します。これは、非常に重要な変換です。例えば、重回帰分析などで、係数の値が大きくても、変数の単位がcmとｍ、kgとｍ、では係数の値が大きいから、効果が大きいとはいえません。こんな時、標準化しておけば、変数の単位が消えて、効果の大小が判断しやすいです。
もうひとつは、標準化すれば、共分散の値が相関係数になることです。分散は１になります。実際に数値計算すれば、分かりますが、2次行列で証明しましょう。
でしたから、今、s11＝s22＝1として、r12＝s12 当然、r21＝s＝21 式10
よって、式8が成立します。
これは、2元の相関についての話ですが、当然、n次の相関行列についても成立します。標準化されたデータの分散・共分散行列は相関行列に一致するということです。逆に、相関行列をとってしまえば、データを標準化した分散・共分散行列をとっていることになります。マハラノビスの距離は、標準化を通して同じことをやっているわけです。
むしろ、相関行列ならエクセルでも一回で出るので、この方法の方が簡単です。
相関行列を使ってマハラノビス距離を表わすと、以下のようになります。
...分散共分散行列を使った式７と相関行列を使った式11は等価です。定義は異なるが計算結果は同じになります。二次で証明しておきます。
ところで、分かりきっている（分かり合っている？）として、断ってこなかったσとｓの関係ですが、σの二乗がｓ（分散）です。
次の式が大事です。力ずくではなかなか証明できません。
左式スタートから書くと、すぐ分かりますが（行列の掛け算が分かっているとして）
ます。よって、分散共分散行列でも相関行列でもマハラノビス距離の計算結果は同じです。
今回はここまでで、次は相関行列を使ったマハラノビス距離で、MTA法の話に戻っていきます。