直交配列実験の分散分析について

登録専門家の村島です。実験計画法、品質工学、多変量解析等々のコンサルタントやセミナーを行っております。
かんたんに、ご質問に回答させていただきます。

①相対的に頑健性の高い因子と水準を求める場合には、7個の因子のうち、相対的に分散が小さいものをプールしていきます。３個か４個ぐらいでいいと思いますが、厳密な基準はありません。プールした平方和と自由度から分散を計算し、誤差分散とします。これで、検定するわけです。
　通常の実験計画法であれば、６個の因子をわりつけて、１個を誤差列にとるということでも、もちろん間違いではありません。ただし、やればわかりますが、誤差の自由度が１で、その他６個の因子の自由度もそれぞれ１ですから、有意になる可能性は非常に小さくなります。又、誤差の自由度が５以下では、通常判定保留にします。結局、７個割付けと同じように、プーリングをしていくことになります。Ｌ８は、プールしていっても誤差の自由度がかなり小さいので、判定保留覚悟になります。

②直交配列実験の繰り返しは、実験間誤差となります。１因子ごとの一元配置実験と同じような処理をやってはいけません。実験場が２つあるので、その繰り返しは、あくまでも実験間誤差で検定します。もちろん、ひとつの実験場で繰り返し（サンプリングや測定）があれば、その繰り返し誤差と区分して、検定します。実験間誤差の計算方法は、下記セミナーを参考にしてください。

③前項にて、ご回答したとおり、実験間誤差を確保しているのであれば、７個の因子を検定することは可能です。

よく間違えるものに、サンプリングの繰り返しや測定の繰り返しと実験そのものの繰り返しです。質問者の方は、実験の繰り返しとされていますが、それでいいです。
　具体的な説明は略しますが、サンプリングや測定の繰り返しよりも実験間誤差を優先するほうがいいので、実験繰り返しの工数が許されれば、そのほうがいいでしょう。

　なお、私のオンデマンドセミナーでも詳細説明しています。そのものずばりの説明ではありませんが、下記参照にしてください。

　ものづくり.com 村島⇒セミナー⇒実践的ＳＱＣ習得オンデマンドセミナーー効率的品質管理のための統計的手法の基本と応用ーの第４回と第５回です。そのものずばりの説明でなくても、かなり基本から説明していますので、わかりやすいと思いますが、もしわからなければ、質問はメールでもＺＯＯＭでも受け付けます。（産業革新研を通してください）

以上です。よろしくお願いします。

QE Compassの細川と申します

　寄与の小さい制御因子をプールし、実験誤差として扱いF検定を実施するアプローチが一般的ですが、このような方法では納得のある結果が得られないケースが多いのも事実です。効果があるはずの制御因子にも関わらず有意にならない、効果ないはずの制御因子が有意になるなど。空き列を設けて誤差列とする方法もありますが、交互作用がゼロということは現実的にはありませんので、多くの実験では空き列に交互作用が交絡します。よって、現実には正しく検定ができません。

　検定によって制御因子の効果を判断するのであれば、ご提案のように繰り返し実験を実施することは上記の問題を回避できるので効果的です。ただし、繰り返し実験は実験回数が増えてしまいますので効率性を犠牲にすることになりますが。それと、もし手間でなければ、実験の順番をランダマイズして系統誤差を偶然誤差にすると良いかと思います。

　ここからは品質工学的な側面からのアドバイスとなります。交互作用がないと判断できるとのことですが、それを実験的に確認された方が良いかと思います。取り上げた制御因子が目的特性と因果関係を持つとき、交互作用は必ず存在すると考えるのが現実的です。よって、直交表実験を実施する際には必ず確認実験を実施することをお勧めします。特に交互作用の空き列のない実験の場合は必須かと思います。確認実験の方法については品質工学の書籍に書かれていますので参照お願いします。

　まったく異なる方法としては、交互作用が均等にばらまかれるL12などの混合型直交表を用いて実験し、要因効果図から各制御因子の寄与を判断する。さらに確認実験で交互作用の影響度を評価する。この方法が精度と効率の両立性の面で最も優れていると思います。

参考になれば幸いです

未完成な音色さん、

ご質問の趣旨は理解できますが、もっと本質的なことを教えてください。
そもそも目的は何なのでしょうか？
特性値に対する因子の影響が統計的に有意なのかを調べるだけでしたら、ご質問には意味があります。それは因果関係の追及の場合です。この場合はF検定などが意味をもちます。

特性値が品質工学で言う望小、望大、望目等であれば目的は最小化や最大化、バラツキの最小化と目標値の合わせこみという技術的目的がありますからアプローチは変わってきまし、統計的な有意度はあまり気にしないことを奨めます。基本的に各因子の影響があるとして、それが大きいのか微々たるものなのを判断するべきです。

その意味で因子の種類が制御因子なのか、ノイズ（誤差因子）なのかで解析法や、その解釈も変わってきます。

ブロック因子をお考えのようですが、因果関係の追及でしたらその意味があります。目的としてブロックの水準ごとでの最適化なのか、ブロック因子をノイズとしてロバストにするというのがあり得ます。

目的有りきですので、助言は難しいです。
答えになってなくて申し訳ありません。

村島です。補足質問へのご回答です。
実験間誤差は、わざわざ乱塊法に含める人はいないと思いますが、間違いでもありません。たとえば、実験の繰り返しを１回目と２回目で、実施日の違いにするなら、実験日をブロック因子と考えれば、これも立派な乱塊法です。解析は、同じです。
次の質問ですが、２回の平均をとってはいけません。そんなことをすると、実験間誤差を全く無視してしまうことになります。実験計画法は「平均をとらない」ことが原則です。平均をとると、個々のデータのばらつきを考慮できないし、自由度も減ってしまいます。自由度が、減るはずはないことからも平均をとってはいけない理由がわかると思います。
（L8を２回繰り返したのであれbば、全自由度は１５です。平均とったら、８個の平均値のデータから１引いて、７です。これは、大きな間違いになります。）

最後のほうのご質問は、そのとおりなので、それでいいと思います。実験の繰り返しによってのみ、実験間誤差は計算されます。
ただし、
効果の小さい（変動の小さい、分散の小さい）ものを実験間誤差として処理するということが、なぜ、実験間誤差になるのか？　という質問だと思いますが、（間違ってたらすいません）、これは、「単に、そう考える」というだけのことです。数理的な厳密な保証はありません。効果が小さいので、誤差に（実験間誤差の一種に）しておこう、ということです。実験計画法では、これをプーリングといっていますが、この厳密なやり方というのはないのです。いろいろなやり方、考え方があります。具体例によって異なります。

なお、くどいですが、そういう意味では、実験間誤差の前に、サンプリングや測定繰り返しの誤差（いわゆるデータ繰返しの誤差）を算出できる実験計画にしておくといいでしょう。１回目で、各実験Ｎｏごとに、２個のデータ繰返し、２回目でも同様に２個のデータ繰返し。そうすれば、データ繰返しと実験間誤差が区分できます。もし、実験間誤差が有意であれば、検定は実験間誤差で行います。有意でなければ、このふたつをプールします。いずれにせよ、こういった誤差の誤差分散と比べて、わりつけた因子の分散が、かなり小さければ、文句なしの実験間誤差（の一種）だし、ほぼ２倍程度までなら、実験間誤差にプールしますが、有意性から判断してもいいでしょう。

ご検討ください。

補足質問にコメントさせていただきます

先ほどは一般論的な内容で回答させていただきました。実験計画の詳細については，実験の目的，計測特性，因子の種類などを把握した上で，網羅性及び精度と効率性を考慮して決定する必要があります。仮に実験の目的が性能の向上であり，計測特性を大きくしたいのであれば，できるだけ沢山の制御因子を取り上げて混合系直交表にわりつけて最適化する方法がお勧めです。

ばらつきの低減が目的であれば，繰り返し１回では足りないでしょう。誤算因子の導入が現実的になります。

ばらつき要因を抽出するために，その候補となる誤差因子を抽出したいのであれば直交表実験以外のアプローチが有効かもしれません。

このような視点でもご検討いただければと思います