◆ 充填率計算 稠密六方格子
稠密六方格子の充填率を計算します。単位格子の体積を計算するときに格子定数を六角形の一辺の長さaとして体積を計算します。下図に示すように、稠密六方格子の底面(1000)面は一辺がaの正三角形が6個集まった形をしています。一辺がaの正三角形の面積(S1とします)は√3/4a2のため、底面の面積Sは図の中の式(1)となります。
図.稠密六方格子の格子定数と原子半径
そして、底面の正三角形と高さに注目すると、上下の面の3個の原子と中段1個の原子によって正三角錐が出来ています。これを下図に示します。正三角錐の高さc/2は三角形の重心と三平方の定理より図の中の式(2)となります。そして、稠密六方格子の高さcは図の中の(3)式となります。式(1)、(3)より稠密六方格子の単位格子の体積Vaは図の中の式(4)となります。
図.稠密六方格子の格子定数と高さ
また、原子の半径をrとしたときの原子一つの体積Vrは式(5)となります。
Vr=4πr3/3 (5)
そして、単位格子の中にある原子の数は六角形の中心に2個、六角形の頂点に12個です。中段には3個の原子があります。(1000)面の中心の原子は半分(1/2)単位格子に含まれます。頂点にある原子は単位格子に含まれるのは1/6個となります。
中段の原子3個はそれぞれ少し欠けていますが、その分が隣の単位格子からはみ出しているので、丸3個となります。これらを踏まえて、単位格子に含まれる原子の数Nを計算すると式(3)となります。式(3)より格子定数の中には6個の原子が占めていることになります。
N=2(個)×1/2(割合)+12(個)×1/6(割合)+3個×1(割合)=1+2+3=6(個) (6)
格子定数と原子半径の関係ですが、稠密六方格子の底面に注目すると格子定数aには原子がすき間なく2個並んでいます。2個の原子のうち格子定数に含まれるのは半分のみとなります。そのため格子定数と原子半径は式(4)が成り立ちます。
a=2r (7)
式(4)～(7)を合わせると充填率Sに対して式(8)の関係式が成り立ちます。式(8)に式(7)を代入すると式(9)となり、計算すると式(10)、(11)になります。√2π/6を近似計算すると約0.74(74%)となります。これが稠密六方格子の充填率です。稠密六方格子は面心立方格子と同じ最密充填構造です。どちらの充填率も74%となります。
次回に続きます。
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