L18直交表での多水準

ご質問に回答いたします．
結論から言いますと、２水準の第１列と３水準の第２列から作った6水準列を持つL18直交表の全ての２列の組み合わせは直交します。
第１列が２水準のL18直交表の自由度を考えてみますと、第１列の自由度が1で、第２列から第８列までが３水準なので自由度は全て２です。トータルの自由度は1+2×7＝15となり、平均値の自由度１を引いた全自由度18-1=17と等しくなりません。この余った自由度２で６水準にします。

次に６水準のL18直交表の自由度を考えてみます。第１列の自由度が5で、第２列から７列までの自由度が2ですから、トータル自由度は5+2×6=17となり、全自由度と等しくなります。全ての列の自由度の合計が行数-１と等しくなるのが普通の直交表という意味では、６水準のL18直交表が標準であるとも言えます。

比較のために一般的な直交表L8での多水準化についても触れておきます。直交表L8で４水準を作る場合、例えば第１列と第２列の交互作用列である第３列の合わせて３列（自由度３）を使って以下のように４水準にます。
111　⇒　第１水準
122　⇒　第２水準
212 ⇒ 第３水準
222　⇒　第４水準

一方、直交表L18では交互作用列を導入せずに、第１列と第２列のみで６水準にします。
11　⇒　第１水準
12 ⇒　第2水準
・・・
23　⇒ 第6水準

ご質問の意味を十分に理解できていない可能性もありますが、
回答になっていますでしょうか

お役にたててよかったです
追加でコメントさせていただきます

　第１列が２水準の一般に知られている直交表L18においても、第１列と第２列を使って２×3の２元配置のグラフを描くなどして，両列に割り付けた因子の交互作用の大きさを把握することができます．（実験誤差は無視できるとして）これも6水準化同様に余っている自由度２を使っています．
　ご質問の範囲を超えてしまうかもしれませんが，品質工学的な視点でのコメントも追加させていただきます．交互作用は技術開発や製品設計を非効率化する最大の要因です．よって，交互作用の大きさを把握すべきという考え方もありますが，２因子間の交互作用を個別に把握することは，混合型直交表を活用する狙いからすると小さなことなのです．目的機能や基本機能を活用することによって加法性を確保し，交互作用の影響を抑制することが品質工学の戦略であり，私の経験ではこの品質工学のアプローチが最も効果的です．さらに，目的機能あるいは基本機能の効果に加えて，２因子間の交互作用が他の列にばらまかれるという混合型直交表による交互作用相殺効果もかなりのものです．（直交表L18は注意が必要ですが）とは言っても，交互作用をゼロにすることは現実的には不可能ですので，必ず確認実験を実施して，交互作用の影響をざっくりと定量的に把握することも大切です．

参考：基礎から学ぶ品質工学　日本規格協会　P.260

　直交表L18は，２因子間の交互作用が他の列に均等にばらまかれると書かれた書物もありますが，実はそうではありません．交互作用が無視できない場合，割り付け方によって要因効果図の傾向が大きく変わるケースもあります．直交表L12は２因子間の交互作用が他の列に均等にばらまかれますが，直交表L18はやや複雑な性質を持っています．そのため，完全に均一にばらけるように割り付けることはできないのですが，第１列が２水準の一般的な直交表L18であれば，第２列を空き列にすることで均一性が改善します．（６水準割り付けは３水準の第２列に割り付けたことになります）もし，因子数が少なく，空き列を作ることができるのであれば第３列以降に割り付けることをお勧めします．

　ただし，繰り返しになりますが，交互作用の影響をゼロにすることはできません．また，交互作用の大きさは，目的とする特性の定義に依存して大きく変わります．品質工学の目的機能や基本機能の考え方で目的特性を定義することによる交互作用低減が最も効果的です．加法性の良い目的特性を定義できれば，どのような直交表でも同じ傾向の要因効果図となります．また，一因子実験の生データの傾向と要因効果図の傾向の乖離もなくなります．つまり，十分な加法性を持った目的特性であれば，どのような実験でも最適条件は同じになります．

　直交表は交互作用の影響を受けやすいとも言えます．交互作用によって要因効果図の信頼性が低下することを嫌って直交表実験を避けるケースが多いのですが，交互作用が存在しても直交表実験を実施する方が得策です．その狙いは組み合わせ網羅率の活用です．交互作用が大きいことは，すなわち組み合わせで最適条件が存在するということです．直交表は組み合わせ網羅率が高いので，例えば３つの制御因子のたった一つの水準組み合わせで大きな改善効果が得られるとしたら，その効果を検出できる確率は一因子実験に比べて飛躍的に高まります．その改善効果は，ある行でとても大きな改善効果が得られるという形で検出します．ただし，要因効果図の傾向は信用できないので技術蓄積はできません．改善加速ツールとして直交表を活用するわけです．

　この交互作用によって技術蓄積ができないという問題も，ここ数年で解決できるようになりました．それがCS-T法です．CS-T法では直交表に割り付けた制御因子を解析対象にしません．より重要な中間的な特性を多数取り上げてT法パートに割り付けて解析を実施します．直交表実験で改善を加速し，Ｔ法でより価値ある技術情報を得る戦略です．たくさんの事例でCS-T法の効果を実感しております．

参考：タグチメソッドによる技術開発　～基本機能を探索できるCS-T法～　日科技連

直交しているかどうかを知るだけでしたら、2列間の相関係数をエクセルの
＝Correl（　列１ 、 列２ ）で出して、値がゼロであれば直交しています。