【層別因子を含むデータ解析 連載目次】
♦ 重回帰分析初心者向けの注意 ～ 水準３個以上の場合
前回の本解説記事（その1）では、層別因子の水準が2個（機械号機が2台とか男女差とかなど…）の場合は、割り当てる数値を何に例えてもよいことを確認しました。今回は、この水準数が3個以上の場合についてお話します。結論を先にいえば、2個の場合と違い、きちんとした定義変数を割り当てる必要があります。機械号機の1号機、2号機、3号機に適当に、―１、０、１とか、１、２、３とかを割り当てることは厳禁ということです。2水準の時には、結局、大小を区別するというよりは、一応区別するが、号機はそのどちらでもいいわけです。例えば、号機別に1個ずつのデータを取ったとしましょう。号機に１や２を割り当てて、その散布図を想像しましょう。その方程式は直線にしかなりません。どんな適当な数値を割り当てても、直線にしかなりません。傾きは、変わりますが回帰するなら、定義した割り当てた数字を入れればいいので、ｙはそれに対応して出てきますから、同じことです。データ数が増えてもばらつき具合は、回帰線の中心（平均値）に一致するだけで、状況は変わりません。
機械号機差や材料メーカー差、成長炉差、支店の差などで2水準で比べるなら、どんな数値を当てがってもよいですが、3水準以上ではダメです。一番簡単な理解は、号機に１、２、３を割り当てて、収率が10％、40%、70％とする場合を思い浮かべてください（下記表1.参照）。
図1．水準値と号機と収率グラフ①
次に、水準値を逆にしてみます（表2参照）。
図2．水準値と号機と収率グラフ②
回帰式は違いますが、特にここまでなら実害はありません。順序に注意するだけです。ところが、このやり方は非常に重要な誤りを誘導します。それは知らずと、号機の順序を決めているので、2水準の時のようなら、どう入れ替えても、大小が変わるだけですが（表1、2、図１、２参照）、今回の2号機はここまで、常に真ん中にあったわけです。１、２、３あるいは３、２、１という水準値の与え方は2号機が必ず、1号機と3号機の中間にあるという定義になってしまっているわけです。これはおかしな話です。1号、2号といってもA、Bとか太郎、花子というネーミングに過ぎないので、大小順列関係を考えた水準はおかしなことになります。実際にやってみましょう。
下記表では、2号機を端に配置した水準値としています。
図３．2号機を端水準にした場合
回帰式は役に立ちそうにありません。決定係数も25％となります。同じ事象を見ているのに、収率と号機の関係はほとんどないこととなります。差があるともいえないが、差がないともいえないということです。検定が必要になりますが、ここでは行いません。
以上を単回帰で説明してきましたが、そろそろ重回帰に戻して説明します。今までのまとめは、
- 2水準なら適当に数値を入れればよい
- 3水準以上は、適当にいれると、数値が順序（大小）を表すことになり、厳禁
そこで、どうするかです
例えば、説明変数x1とx2は計量因子（温度とか圧力のような連続計量値）とし、号機が4個（A1、A2、A3、A4）とした場合、下表のように置き換えます。これを定義変数といいます。
表4. 号機が4個の場合の定義変数
生データは前回解説記事の表２を使って、以下のようになります。
表5. 号機別の連データ
相関行列や重回帰分析の結果は以下の...
表6. 相関行列
表7．重回帰分析結果
説明するまでもなく号機１の時は、その他の号機の数値は０ですから、x3が1の時は号機１と言い切れます。順序も関係ありません。他の号機でも同じ考え方です。
このように、説明変数が層別因子である場合には、その割り当て数（定義変数）には、注意する必要があります。ちなみに号機A1からA4に順に１、２、３、４と割り当てて、重回帰分析をしてみたものと比べましょう（意味のない解析ですが、一応差異を確認しておきましょう）。
表8．生データの例
表9．相関行列
表10．重回帰分析結果
この表を、正しい解析である表6、表7と見比べてみてください。全く違うのですが、どこにその違いが表れるのかを考察しておくとよいでしょう。